Στην ανατολική επαρχία της Λοξολανδης έκανε περιοδεία ένας μάγος.Ο μάγος σε μια από τις παραστάσεις του έκανε την ακόλουθη ελκυστική πρόταση στο ακροατήριο του.
«Θα πληρώσω 1000 ευρώ σ όποιον καταφέρει να μου δώσει 5 ευρώ σε είκοσι κέρματα των 50, 20 ή 5 λεπτών.1000 ευρώ για 5! Ποιος θα τα κερδίσει;»
Αρχικά δεν απάντησε κανένας από το ακροατήριο.Αρκετοί προσπάθησαν να υπολογίσουν την πιθανότητα επιτυχίας.Κανείς δεν έδειχνε πρόθυμος να εμπιστευτεί τα λόγια του μάγου . «Βλέπω ότι σας φαίνεται υπερβολικό να πληρώσετε 5 ευρώ για 1000» και συνέχισε ο μάγος :
«Ας αλλάξω την προσφορά,δέχομαι να πάρω 3 ευρώ σε είκοσι κέρματα και να σας πληρώσω 1000 ευρώ. Έλατε!»
Ωστόσο,κάνεις πάλι δεν προθυμοποιήθηκε.Οι θεατές δίσταζαν να αδράξουν την ευκαιρία για να κερδίσουν «εύκολα» χρήματα.
«Λοιπόν; Ακόμη και τα 3 ευρώ σας φαίνονται πολλά; τέλος πάντων,θα μειώσω το ποσό στα 2 ευρώ σε είκοσι κέρματα.Τώρα τι λέτε;»
Αλλά και πάλι κανένας θεατής δεν εμφανίστηκε.
Ο μάγος δεν ρισκάρισε με τις προσφορές του στο κοινό ούτε ένα ευρώ , μπορείτε να εξηγήσετε γιατί;
Για την λύση στα σχόλια
Κανένα από τα τρία προβλήματα δεν έχει λύση .Είναι αδύνατα ,ο μάγος θα μπορούσε να προσφέρει οποιοδήποτε χρηματικό βραβείο χωρίς να ρισκάρει ούτε ένα ευρώ. ας εξετάσουμε το κάθε πρόβλημα ξεχωριστά :
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτην πρώτη προσφορά θα πρέπει να δώσουμε 5 ευρώ σε είκοσι κέρματα των 50 λεπτών, των 20 λεπτών, και των 5 λεπτών. Θεωρούμε ότι έχει λύση , έστω:
Χ κέρματα των 50 λεπτών
Y κέρματα των 20 λεπτών
Ζ κέρματα των 5 λεπτών. Τότε προκύπτει η εξίσωση .
50χ+20y+5z=500 λεπτά η (5 ευρώ). Απλοποιώντας με το 5 η εξίσωση γίνεται:
10x+4y+z=100 (1)
Γνωρίζουμε ότι το πλήθος των κερμάτων είναι είκοσι. Άρα διαθέτουμε και την εξίσωση:
χ+y+z=20 (2)
Αφαιρώντας κατά μέλη την (1) από την (2) προκύπτει:
9χ+3y=80
Διαιρώντας τα δυο μέλη με το 3, έχουμε :
η
Αλλά το 3x –δηλαδή τα κέρματα των 50 λεπτών πολλαπλασιασμένα επί 3- είναι προφανώς ακέραιος .Ομοίως και το y , τα κέρματα των 20 λεπτών. Οπότε το άθροισμα τους δεν μπορεί να είναι ανάγωγο κλάσμα. Άρα το πρόβλημα είναι αδύνατο.
Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να βεβαιωθούμε πως ούτε οι άλλες δυο περιπτώσεις έχουν λύση. Στην περίπτωση με αντίτιμο 3 ευρώ, έχουμε την εξίσωση:
Στο πρόβλημα με αντίτιμο τα 2 ευρώ:
Και οι δυο , όπως φαίνεται δεν δίνουν ακέραια αθροίσματα.
Το αριθμητικό αυτό τρυκ είναι παραλλαγή ενός προβλήματος του 1985 του yakov Perelman.