«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Παρασκευή, 25 Μαΐου 2012

Το βασιλικό "Όχι" του Ευκλείδη ,ένα μαγικό τρικ και η αρχή του Kruskal !!


Martin David Kruskal (1925 – 2006) 
                                                              
Δίνεται το κείμενο:
 " Ο βασιλιάς Πτολεμαίος Α ρώτησε τον Ευκλείδη  εάν υπήρχε πιο σύντομος δρόμος για να μάθει κανείς την Γεωμετρία από αυτόν των "στοιχείων" ,του συγγράμματος δηλαδή του φιλοσόφου .  Ο Ευκλείδης απάντησε:
   « Μη είναι βασιλικην ατραπον επί γεωμετριαν» "
(Μετ:"Δεν υπάρχει Βασιλική οδός στην Γεωμετρία."

   Επιλέξετε μια οποιαδήποτε λέξη από τις πρώτες 10 .Αν  χ1 είναι το πλήθος των γραμμάτων της ,  κινηθείτε δεξιά μετρώντας τόσες λέξεις όσο και το πλήθος χ1 , φτάνετε σε κάποια λέξη μετρήστε το πλήθος των γραμμάτων της ,έστω χ2  και επαναλάβετε την ίδια διαδικασία μέχρις ότου εξαντληθεί το κείμενο και δεν μπορείτε να προχωρήσετε άλλο. Θα παρατηρήσετε ότι καταληκτική λέξη της διαδικασίας είναι η λέξη  «βασιλικήν ». Για παράδειγμα μπορούμε να ξεκινήσουμε από  την λέξη «ρώτησε»,  έχει 6 γράμματα , κινούμαστε 6 θέσεις δεξιά φτάνουμε στην λέξη «σύντομος» , έχει 8 γράμματα , κινούμαστε 8 θέσεις δεξιά  φτάνουμε στην λέξη «από» ,έχει 3 γράμματα κινούμαστε 3 θέσεις δεξιά και φτάνουμε την λέξη «στοιχείων»  με 9 γράμματα, κινούμαστε 9 θέσεις δεξιά και καταλήγουμε στην λέξη «βασιλικην» που είναι και η καταληκτική .   

                                   

 
    Το παράξενο είναι ότι ανεξάρτητα από την λέξη εκκίνησης πάντα η καταληκτική λέξη  είναι η λέξη «βασιλικήν». Μόνο σε αυτό το κείμενο συμβαίνει; Σε οποιοδήποτε κείμενο όσο μεγαλύτερο είναι το  πλήθος λέξεων  σε σχέση   με το πλήθος των γραμμάτων της μεγαλύτερης λέξης τόσο πιο μεγάλη είναι  η πιθανότητα να έχουμε την ίδια καταληκτική λέξη .  Αν επιλέξουμε τυχαία δυο λέξεις από τις πρώτες 10  σαν αφετηρίες, η πιθανότητα να διασταυρωθούν  οι πορείες τους είναι πολύ μεγάλη (αρκεί το πλήθος των  λέξεων του κειμένου να είναι πολύ  μεγαλύτερο   από το πλήθος των γραμμάτων της μεγαλύτερης λέξης),από την λέξη που θα διασταυρωθούν και μετά ,η πορεία τους θα είναι ίδια  άρα και η κατάληξη θα είναι η ίδια. Στο παραπάνω κείμενο οι πορείες και των δέκα λέξεων αφετηρίας  διασταυρώνονται ,για αυτό η καταληκτική λέξη είναι πάντα  το "Βασιλικην".Το παραπάνω τρικ βασίζεται στον μαθηματικό Μάρτιν Κρουσκαλ και σε μια αρχή που διατύπωσε το 1970 και  φέρει το όνομα του:"Kruskal Count".Ο Μάρτιν Γκαρντνερ  στην στήλη του "Μαθηματικά παιχνίδια" στο περιοδικό Scientific American , πρωτοπαρουσίασε το παραπάνω τρικ  χρησιμοποιώντας  ένα κείμενο από την παλαιά διαθήκη με  καταληκτική λέξη  "God" (δειτε εδώ). Στην ίδια αρχή του Κρούσκαλ  βασίζεται και ένα πολύ δημοφιλές μαγικό τρικ με τραπουλόχαρτα όπου η πιθανότητα ο μάγος να μαντέψει τον αριθμό που επέλεξε αρχικά το "θύμα" είναι μεγαλύτερη από 84% (δείτε και την απόδειξη) . Το τρικ παρουσιάζεται πολύ εύγλωττα στο  παρακάτω βίντεο:


                     

1 σχόλιο:

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...