Γιγαντιαίοι πρώτοι αριθμοί και μια εντυπωσιακή εφαρμογή των λογαρίθμων.

          

              

     
  Ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που είχε βρεθεί μέχρι την 7 Ιανουαρίου 2016 είναι  ο 2^57885161-1,ένας ασύλληπτα μεγάλος αριθμός καθώς εκτιμάται ότι  αν κάθε αριθμητικό ψηφίο αντιστοιχεί σε ένα εκατοστό,ο αριθμός θα γραφόταν σε μια ταινία χαρτιού μήκους 160 χλμ.Στις 7 Ιανουαρίου 2016 το ρεκόρ ανανεωθηκε καθώς ανακαλύφτηκε ο   2^74207281-1 . Πόσα ψηφία έχουν τέτοια αριθμητικά τέρατα;Οι λογάριθμοι μας επιτρέπουν με  ένα κοινό κομπιουτεράκι  να βρούμε το ακριβές πλήθος των ψηφίων των δυο αριθμών.

  Σκεφτείτε τον αριθμό 10  είναι διψήφιος ο αριθμός,ο 10² είναι τριψήφιος, ο 10³είναι τετραψήφιος  κ.ο.κ. Γενικά παρατηρούμε ότι ο αριθμός  10^ν-1 είναι ν-ψηφιος αριθμός. Επειδή ο αριθμός  10^ν αποτελείται από μια μονάδα και  ν μηδενικά είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος με ν+1 ψηφία. Είναι προφανές λοιπόν ότι κάθε ακέραιος στο διάστημα                        [10^ν-1 , 10^ν ) έχει ν ψηφία. Όμως

                              log  10^ν-1 =ν-1 ,  log  10^ν =ν                    

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι:

   ▪ Κάθε ν-ψήφιος αριθμός έχει λογάριθμο στο διάστημα [ν-1 , ν)  .

Ή ισοδύναμα

    

  ▪ Αν Μ θετικός  ακέραιος με ν ψηφία τότε    ν-1<=logΜ<ν

Τα παραπάνω συμπεράσματα  είναι εξαιρετικά χρήσιμα για να προσδιορίσουμε το πλήθος των ψηφίων ενός πολύ μεγάλου αριθμού.

Για παράδειγμα, ο αριθμός 5²⁰¹³.Πόσα ψηφία έχει;

Υπολογίζουμε το λογάριθμο

                      log  5²⁰¹³ =2013 log  5  = 701,5133               

                               (log5 είναι περίπου 0,34948 )

Στρογγυλοποιούμε στον μεγαλύτερο ακέραιο άρα ο αριθμός 5²⁰¹³έχει 702 ψηφία.

Επανερχόμαστε λοιπόν στο αρχικό ερώτημα. Το πλήθος των ψηφίων του2^57885161-1    είναι ακριβώς το ίδιο με το πλήθος των ψηφίων του 2^57885161 διότι κάθε δύναμη του 2 έχει τελευταίο ψηφίο 2,4,6 και 8  και όχι 0.

log2^57885161  =57885161 log2=17425169,7648   στρογγυλοποιούμε στον μεγαλύτερο ακέραιο άρα ο αριθμός2^57885161-1  έχει17425170  ψηφία!!!

 Ενημερωση(7/1/2016)
O   2^74207281-1 βρέθηκε στις 7 Ιανουαρίου 2016.

  Το πλήθος των ψηφίων του   2^74,207,281-1 είναι ακριβώς το ίδιο με το πλήθος των ψηφίων του   2^74,207,281 διότι κάθε δύναμη του 2 έχει τελευταίο ψηφίο 2,4,6 και 8  και όχι 0.

log 2^74,207,281  =74207281 log2=22338617.4776658344871172  στρογγυλοποιούμε στον μεγαλύτερο ακέραιο άρα ο αριθμός 2^74,207,281-1  έχει 22338618 ψηφία!!!