«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Σάββατο, 22 Ιουλίου 2017

Διαδρομές...





Προβλήματα....


1.Ο Μάκης και ο Τάκης λαμβάνουν μέρος σε ένα μαραθώνιο ,με ακριβές μήκος διαδρομής 26,2 χιλιόμετρα.Ο Μάκης όλη την διάρκεια της διαδρομής διατηρεί μια σταθερή ταχύτητα  1 χιλιόμετρο  ανά 8 λεπτά, ο Τάκης δεν έχει σταθερή ταχύτητα αλλά γνωρίζουμε ότι  του παίρνει ακριβώς 8 λεπτά και 1 δευτερόλεπτο για να διανύσει κάθε διαδρομή ενός χιλιομέτρου.(Αυτό αναφέρεται σε κάθε διάστημα  διαδρομής της μορφής (α,α+1) π.χ. Από 3,64 χλμ μέχρι το 4,64 χλμ κ.ο.κ).Είναι δυνατό να τερματίσει  ο Τάκης σε καλύτερη θέση από τον Μάκη;


2.Ένας δρόμος είναι κατασκευασμένος παράλληλα με έναν σιδηρόδρομο έως ότου φτάνει σε μια γέφυρα που περνάει πάνω από την σιδηροτροχιά (δείτε σχήμα).Ο Μήτσος  συνήθως πηγαίνει στην εργασία του με το ποδήλατο του  κινούμενος κατά μήκος του δρόμου με μια σταθερή ταχύτητα 12 μίλια / ώρα, όταν φτάνει στη διασταύρωση εκείνη την στιγμή τον προσπερνά ένα τρένο που ταξιδεύει προς την ίδια κατεύθυνση.Μια μέρα καθυστέρησε  25 λεπτά να ξεκινήσει για την δουλειά του και διαπίστωσε ότι το τρένο τον προσπέρασε 6 χιλιόμετρα πριν από την γέφυρα. Ποια είναι η  ταχύτητα του τρένου; (θεωρούμε ότι η ταχύτητα του τραίνου είναι σταθερή)



3.Ο Βασιλιάς Χαρίλαος ζει σε ένα παλάτι που κάθε δωμάτιο είναι τριγωνικό. Πριν πέσει για ύπνο  θέλει να κάνει μια επιθεώρηση σε όλα τα δωμάτια του παλατιού. Υπάρχει διαδρομή που θα του επιτρέψει να επισκεφτεί κάθε δωμάτιο του παλατιού ακριβώς μια φορά. 





4.Είναι δυνατό να κατασκευαστεί ένα μαγικό τετράγωνο 3x3, χρησιμοποιώντας τους εννέα  πρώτους αριθμούς: 1,2,3,5,7,11,13,17,19






5.Υπάρχει εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο του οποίου οι εσωτερικές γωνίες να είναι
                               70ο ,90ο ,110ο ,130ο ,150ο ,170ο  ;


 6.




ΛΥΣΗ
 
Bonus τραγουδάκι

                              

6 σχόλια:

  1. Πρόβλημα Νο.4
    Όχι, δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε μαγικό τετράγωνο με τους πρώτους αριθμούς, διότι ο κεντρικός αριθμός πρέπει να είναι ο μέσος όρος των 9 αριθμών του μαγικού τετραγώνου.
    Αν ονομάσουμε «α» το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής, στήλης ή διαγωνίου , «x» τον αριθμό στο μεσαίο τετράγωνο και «Σ» το άθροισμα όλων των 9 αριθμών, τότε ισχύει :
    1η διαγώνιος + 2η διαγώνιος + μεσαία γραμμή + μεσαία στήλη = Σ+3χ
    Αυτή η σχέση γίνεται
    4α = 3α + 3χ ----> 4α-3α=3χ ---> α=3χ ---> χ=α/3
    οπότε το «x» είναι το ένα τρίτο του κοινού αθροίσματος «α» κάθε γραμμής , στήλης ή διαγωνίου.
    Είναι επίσης :
    x = a/3 = 3a/9 = Σ/9.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ναι, κ.Carlo, σωστά, το πρόβλημα υπάρχει στο 100 Numerical Games του P. Berloquin

      Διαγραφή
  2. Κύριε Δρούγα,
    Καλησπέρα σας!
    Σας εύχομαι καλές διακοπές.
    Φιλικά,
    Carlo de Grandi

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Ευχαριστώ κ.Carlo το ιδιο ευχομαι και σε εσας

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Καλημερα κυριε Δρουγα!
    Σχετικα με μια λυση για το προβλημα 3...
    Αν χρωματισουμε τα τριγωνακια ασπρα και μαυρα εναλλαξ ωστε να προκυψει ενα σχημα που θυμιζει σκακιερα, ο βασιλιας θα πρεπει για να διασχισει τα δωματια να περασει απο μαυρο δωματιο σε ασπρο (ή απο ασπρο σε μαυρο). Δεν γινεται δηλαδη να περασει απο ασπρο σε ασπρο ή απο μαυρο σε μαυρο. Μετρωντας τα δωματια παρατηρουμε οτι υπαρχουν 12 ασπρα και 10 μαυρα δωματια(ή αντιστροφα). Αν ξεκινουσε ο βασιλιας απο μαυρο δωματιο θα περισευανε στο τελος 3 ασπρα που ειναι αδυνατο. Ομοιως αν ξεκινουσε απο ασπρο δωματιο θα περισσευανε 2 ασπρα που ειναι και παλι αδυνατο. Αρα δεν υπαρχει διαδρομή που θα του επιτρέψει να επισκεφτεί κάθε δωμάτιο του παλατιού ακριβώς μια φορά.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ναι Χριστίνα,σωστά,και για την ιστορία το πρόβλημα ανήκει στον μαθηματικό James Tanton (http://www.jamestanton.com/)

      Διαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...