«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Κυριακή, 15 Οκτωβρίου 2017

Σαν σήμερα στο μαθηματικό σύμπαν. Ανταμάρ,Ραμανουτζάν,Πουανκαρέ,Χάμιλτον,Ντιριχλέ. Προμελετημένα «Εύρηκα» …..



  
   Για τους γονείς που απελπίζονται επειδή τα παιδιά τους δυσκολεύονται να κατανοήσουν τα πρώτα τους προβλήματα στην αριθμητική,τους αφιερώνω το δικό μου παράδειγμα.Διότι, στην αριθμητική,μέχρι την έβδομη τάξη ήμουν τελευταίος ή σχεδόν τελευταίος.

                                                                                                    Ζακ Ανταμάρ (1865-1963)

Ένα μνημόσυνο και ολίγη από μαθηματική ιστορία..


    Αυτές τις μέρες του 1963,πεθαίνει πλήρης ημερών, ο Γάλλος μαθηματικός  Ζακ Ανταμάρ (1865-1963).Ο Ανταμάρ συνέβαλλε τα μέγιστα στην μαθηματική ανάλυση αλλά έμεινε στην μαθηματική ιστορία όταν το 1896,απέδειξε το θεώρημα των πρώτων αριθμών,σε μια όχι σπάνια περίπτωση μαθηματικής πολυγένεσης  την ίδια χρονιά το απέδειξε και ο Βέλγος μαθηματικός Charles de la Vallée Poussin αλλά είναι βέβαιο ότι εργάστηκαν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο.Το θεώρημα των πρώτων αριθμών είναι μια εικασία που τοποθετήθηκε στο μαθηματικό προσκήνιο από τον Gauss και τον Legendre.To θεώρημα  περιγράφει την ασυμπτωτική  κατανομή των πρώτων αριθμών μεταξύ των θετικών ακεραίων.Αν είναι π(x) η συνάρτηση καταμέτρησης των πρώτων αριθμών που δίνει τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι ή ίσοι με το x,για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό x,τότε x / log(x) είναι μια καλή προσέγγιση της π(x), με την έννοια ότι το όριο του πηλίκου από τις δύο συναρτήσεις π(x) και x/logx όσο αυξάνεται το x χωρίς όριο είναι 1:


                         lim(π(ν)/(ν/logν))=1  καθώς το ν τείνει στο άπειρο   
                                     
                   

Πως τα βρίσκουν οι κερατάδες;


  Τον Ανταμάρ απασχόλησαν εκτός από τα αμιγώς μαθηματικά ερωτήματα και μεταερωτήματα όπως:
 Πως προκύπτουν οι μαθηματικές ιδέες;Ποιο μονοπάτι ακολουθεί το  μυαλό όταν συλλαμβάνει τόσο αφηρημένες έννοιες;Γίνεται συνειδητά,μπορεί να ελεγχθεί;Είναι προϊόν έμπνευσης,κοπιώδους προσπάθειας;

Συνέγραψε ένα βιβλίο με τίτλο «Ψυχολογία της επινόησης», προσπάθησε να βρει πως σκέπτονταν πραγματικά οι διάσημοι επιστήμονες και μαθηματικοί όταν εργάζονταν. Για αυτούς με τους οποίους ήρθε σε επαφή, σε μια άτυπη έρευνα,έγραψε:

«Στην πράξη,όλοι τους…όχι μόνο αποφεύγουν να χρησιμοποιήσουν νοητικές λέξεις,αλλά αποφεύγουν επίσης…και την νοητική χρήση αλγεβρικών ή ακριβών συγκεκριμένων συμβόλων..χρησιμοποιούν ασαφείς εικόνες.»  

Σε άλλο σημείο τονίζει:.

«.. οι νοητικές εικόνων των μαθηματικών από τους οποίους πήρα απαντήσεις  είναι πιο συχνά οπτικές,αλλά μπορεί επίσης να είναι και κάποιου άλλου είδους –για παράδειγμα κινητικές .»

  Ο Αλμπερτ Αϊνστάιν έγραψε στον Ανταμάρ ότι:

«οι λέξεις η γλώσσα,όπως γράφονται ή λέγονται,δε φαίνεται να παίζουν κάποιο ρόλο στο μηχανισμό της σκέψης μου..Οι φυσικές οντότητες που φαίνεται να χρησιμεύουν ως στοιχεία της σκέψης  είναι κάποια σημεία και κάποιες περισσότερο ή  λιγότερο καθαρές εικόνες οι οποίες μπορούν να αναταραχτούν και να  συνδυαστούν‘εκούσια »…τα στοιχεία που αναφέρονται πιο πάνω, είναι στην περίπτωση μου,οπτικά και κάπως μυϊκά. οι συμβατικές λέξεις ή άλλα σημεία πρέπει  να αναζητηθούν με προσπάθεια μόνο σε ένα δεύτερο στάδιο…»

 Πρόσφατες μελέτες πάνω στον τρόπο  με τον οποίο εκτελούν τις αριθμητικές πράξεις οι ενήλικοι που δεν είναι μαθηματικοί  δείχνουν ότι ισχύει το ίδιο και για τους μη μαθηματικούς.

  Ο Ανταμάρ πίστευε ότι η διαδικασία την ανακάλυψης στα μαθηματικά έχει τις ρίζες της στο  υποσυνείδητο, όταν ένας μαθηματικός αντιμετωπίζει ένα πρόβλημα ακόμα και όταν πάψει να ασχολείται με αυτό, λαμβάνει χώρα στο υποσυνείδητο του έντονη σχετική δραστηριότητα.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί ο Ινδός Ραμανουτζάν.

  Ο Ραμανουτζάν υπήρξε ένας έξοχος αυτοδίδακτος μαθηματικός ,παρά το γεγονός ,ότι, η μοναδική μαθηματική παιδεία που έλαβε ήταν ένα βιβλίο που έμοιαζε με τυπολόγιο και έφερε τον τίτλο «Μια σύνοψη στοιχειωδών αποτελεσμάτων στα θεωρητικά και τα εφαρμοσμένα  μαθηματικά » του Βρετανού Τζον Καρ.Ένας κατάλογος περίπου πέντε χιλιάδων τύπων από απλή άλγεβρα μέχρι περίπλοκα ολοκληρώματα.Ο ίδιος ο Ραμανουτζάν αντιλαμβανόταν τα μαθηματικά ως παραγωγή τύπων μια  ασχολία στην οποία επιδόθηκε με το πάθος ενός ζηλωτή  και παρήγαγε κολοσσιαίο μαθηματικό έργο,αφήνοντας πίσω του μια σειρά σημειώσεων που ακόμα και σήμερα αποτελούν αστείρευτο υλικό για νέους τύπους.Όταν λοιπόν ο Ραμανουτζάν ρωτήθηκε πως σκέφτηκε αυτούς τους τύπους, απάντησε πως είδε την ινδουιστική θεά Ναμαγκίρι στο όνειρο του και την άκουσε να τους απαγγέλλει.Ο Ανταμάρ πίστευε ότι τα όνειρα του Ραμανουτζάν με την Ναμαγκίρι είναι τα επιφανειακά ίχνη της κρυμμένης δραστηριότητας στο υποσυνείδητο του.  

                     

                                           Σρινιβάσα Ραμανούτζαν (1887–1920)




Ποιες είναι οι τρεις φάσεις της μαθηματικής ανακάλυψης; 


   Ο Γάλλος Ηenri Poincare (1854-1912) υπήρξε ο τελευταίος καθολικός μαθηματικός καθώς συμπεριέλαβε με επιτυχία  στη σφαίρα των δραστηριοτήτων του τόσο τα καθαρά όσο και τα εφαρμοσμένα μαθηματικά.Διακρίθηκε εκτός από τα μαθηματικά ,στην φυσική και την αστρονομία.Υπήρξε λέκτορας στο πανεπιστήμιο της Καν και της Σορβόννης. Διορίστηκε καθηγητής στην έδρα της Φυσικής, της Πειραματικής Φυσικής, της Μαθηματικής Φυσικής, του λογισμού των Πιθανοτήτων και της Ουράνιας Μηχανικής στη Σορβόννη.Από το 1887 ήταν μέλος της Ακαδημίας των Επιστημών, από το 1893 μέλος του γραφείου Μέτρων και Σταθμών και από το 1908 μέλος της Γαλλικής Ακαδημίας.Ασχολήθηκε με την φιλοσοφία των μαθηματικών και θεωρούσε την αισθητική ως το απολυτό κριτήριο για την επιλογή των μαθηματικών  θεμάτων που ασχολήθηκε.Σε  ένα από τα βιβλία του έγραφε:  "Ένας επιστήμονας άξιος του ονόματος του,πάνω από όλα ένας μαθηματικός,αντλεί από την εργασία του  την ίδια συγκίνηση  που αισθάνεται  ένας καλλιτέχνης και η χαρά του είναι το ίδιο μεγάλη και της ίδιας ποιότητας." 


                                                    Ηenri Poincare (1854-1912)
  Πριν από μια δεκαετία η δουλειά του ήρθε στο προσκήνιο με ένα διάσημο τοπολογικό πρόβλημα,που έφερε το όνομα του,επικηρυγμένο με το ποσό του ενός εκατομμυρίου δολαρίων από το ινστιτούτο Clay.Το απέδειξε ο Ρώσος μαθηματικός G.Perelman,το 2002 χωρίς, ωστόσο να πάρει τα χρήματα!!!

  Ο Poincare -όπως γράφει ο Bell στο δίτομο του για τους μεγάλους μαθηματικούς-υπήρξε μοναδικός στην μαθηματική εκλαΐκευση καθωςδιέθετε σε εξαιρετικό βαθμό το χάρισμα της σαφούς έκθεσης δύστροπων μαθηματικών εννοιών.Πολυγραφότατος, με μεταφράσεις των έργων του σε πολλές γλώσσες παρότι, το χαρακτηριστικό προσωπικό του ύφος δεν μπορουσε να αποδοθεί εύκολα στις μεταφράσεις.Όχι και άσχημα,για έναν άνθρωπο που ως παιδί ήταν αμφιδέξιος με κάκιστο γραφικό χαρακτήρα και δυσκολία στο να αθροίζει.Το διαγνωστικό τεστ ευφυΐας Binet τον κατέταξε στις χαμηλότερες βαθμίδες.Ψάχνοντας στο διαδίκτυο βρήκα ότι είχε βαθμολογηθεί μόλις με 35 μονάδες IQ,άλλα νομίζω ότι το νούμερο κινείται στα όρια του αστικού μύθου.
  Σε ένα μοναδικό κείμενο, σύνοψη μιας ομιλίας που παρέθεσε στο σύλλογο ψυχολόγων του Παρισιού  στην αρχές του προηγουμένου αιώνα,περιγράφει την λειτουργία του νου ενός μαθηματικού και αυτή καθ΄αυτη την μαθηματική δημιουργία.



Ο Poincare γράφει ότι η μαθηματική εργασία αναπτύσσεται σε τρεις φάσεις:

Η πρώτη συνίσταται σε μια καθαρή ανάλυση που αναδεικνύει τις δυσκολίες  του προβλήματος και των διάφορων αναγκαίων  προσεγγίσεων για την επίλυση του, των εργαλείων που διαθέτει, κάτι που προϋποθέτει μια σε βάθος αναθεώρηση των γνώσεων του.

Η επομένη φάση καθορίζεται  ως φάση εγγενούς εγκατάλειψης.Ο  νους παύει  να σκέπτεται το πρόβλημα ή, τουλάχιστον, σταματάει  να σκέπτεται με ένα καθορισμένο τρόπο προκειμένου να διεισδύσει στο μυστηριώδες σύμπαν του ασυνειδήτου,στο οποίο η δημιουργική δραστηριότητα  ακολουθεί τους δικούς της κανόνες.Είναι το σύμπαν της αοριστίας, της ανακρίβειας και της πνευματικής περιπλάνησης.Το αποτέλεσμα αυτής της ασυνείδητης διαδικασίας  μπορεί να εμφανιστεί οποιαδήποτε στιγμή, αιφνιδιαστικά , και να συνδέεται με συμβάντα που φαινομενικά  δεν έχουν καμιά σχέση με το αντικείμενο  της έρευνας.Είναι η μαγική στιγμή κατά την οποία ο ερευνητής  έχει την αίσθηση ότι ξαφνικά άναψε ένα φως σε ένα δωμάτιο στο οποίο ποτέ προηγουμένως δεν είχε βρεθεί.
Ο Poincare αναλύει τότε την διαδικασία επιλογής που ολοκληρώνει το ασυνείδητο για να μεταφέρει στο συνειδητό κάποιες ιδέες  και να απορρίψει άλλες, και οδηγείται  στο συμπέρασμα ότι αν δεν μπορεί να εξακριβώσει την αλήθεια ή το ψεύδος της εν λόγω ιδέας, το μοναδικό κριτήριο επιλογής του βασίζεται στην ομορφιά των μαθηματικών.
H τρίτη φάση είναι αυτή της πλήρους συνείδησης κατά την οποία ο  μαθηματικός υποβάλλει της ιδέες σε αυστηρό έλεγχο, δεχόμενος κάποιες και απορρίπτοντας άλλες. Μπορεί να υπάρχουν μια ή περισσότερες επιστροφές στην δεύτερη φάση μέχρι που τελικά, αν το πρόβλημα έχει επιλυθεί, υποκύπτει  στους κανόνες του παιχνιδιού που επιβάλλει ο μαθηματικός φορμαλισμός και του δίνει την οριστική μορφή της λύσης.

Όλες οι φάσεις είναι σημαντικές για την ολοκλήρωση μιας μαθηματικής ανακάλυψης, αν και για πολλούς η δεύτερη είναι η πιο γοητευτική διότι είναι εκείνη της ελεύθερης πτήσης του νου που δεν υποτάσσεται στους αυστηρούς κανόνες της μαθηματικής σκέψης .


Διαβάστε πως,ο ίδιος περιγράφει πως οδηγεί το ασυνείδητο στην μαθηματική ανακάλυψη :


 «Για δεκαπέντε μέρες είχα τραβήξει τα πάνδεινα να αποδείξω ότι δεν μπορούν να υπάρχουν συναρτήσεις σαν αυτές – που από τότε τις ονόμασα συναρτήσεις Fuchs. Ομολογώ ότι ήμουν ανίδεος.Κάθε μέρα καθόμουν  στο γραφείο μου  για μια δυο ώρες και  έκανα ατέλειωτους συνδυασμούς,χωρίς να φτάνω  σε κανένα αποτέλεσμα.Ένα βράδυ,αγνόησα  τις συνήθειες μου,ήπια έναν βαρύ καφέ  και έμεινα όλη νύχτα ξάγρυπνος.Αίφνης,οι ιδέες  ξεπετάχτηκαν σαν σύννεφο.Τις ένιωσα να σμίγουν μέχρι που έγιναν ζευγάρια, δημιουργώντας σαν να λέμε ,έναν σταθερό συνδυασμό. Το επόμενο πρωί  είχα αποδείξει την ύπαρξη μιας κλάσης συναρτήσεων Fuchs ,αυτές που προκύπτουν από τις υπεργεωμετρικες σειρές.Το μόνο που έπρεπε να κάνω  ήταν να καταγράψω τα συμπεράσματα μου,πράγμα που δεν μου πήρε παρά λίγες ώρες.»


Δείτε και τους συνδέσμους:




  Ο Ιρλανδός μαθηματικός Σερ Γουίλιαμ Χάμιλτον (1805-1865),6 Οκτωβρίου 1843,κάνοντας βόλτα στα περίχωρα του Δουβλίνου περνώντας από μια γέφυρα  Broom Bridge)σταμάτησε απότομα σαν είχε πατήσει καλώδιο υψηλής τάσης. Σύμφωνα με τα ίδια του τα λόγια: «…Εκεί έκλεισα το γαλβανικό κύκλωμα της σκέψης μου  και οι σπίθες που πετάχτηκαν  ήταν οι  θεμελιώδεις εξισώσεις μεταξύ i,j,k….»Κατά τον Χάμιλτον δεν ήταν τρεις αλλά τέσσερις  οι αριθμοί που έλειπαν  για να περιγράφει χωρικά ένας υπερμιγαδικος.

  

Τιμητική πλάκα που βρίσκεται την γέφυρα Broom  στο Δουβλίνο και μνημονεύει την ανακάλυψη του Χάμιλτον                         

   
   O Ντιριχλέ (1805-1859) έλεγε ότι κοιμόταν με το Disquisitiones Arithmeticae του Gauss κάτω από το μαξιλάρι, γιατί γνώριζε ότι κατά την διάρκεια του ύπνου γινόταν μια μυστηριώδης  διαδικασία,που αυτός δεν έλεγχε,χάρη στην οποία την επόμενη μέρα  κατάφερνε να αποκαλύψει τα σκοτεινά σημεία του κείμενου που κατά την διάρκεια της προηγούμενης νύχτας δεν κατάφερνε να αποκρυπτογραφήσει.

  Ο Άντριου Γουάιλς,o μαθηματικός που κατόρθωσε να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Φερμά περιγράφει,τι αισθάνεται ο μαθηματικός από την στιγμή που έρχεται αντιμέτωπος με ένα άλυτο πρόβλημα,στέκεται περισσότερο στην πείσμονα επιμονή:


 «Ίσως ο καλύτερος τρόπος για να περιγράψω την εμπειρία μου ως μαθηματικός είναι ο εξής:φανταστείτε ότι μπαίνετε σε μια σκοτεινή έπαυλη.Περνάτε στο πρώτο δωμάτιο το οποίο είναι κατασκότεινο.Σκοντάφτετε και πέφτετε πάνω στα έπιπλα, αλλά την ίδια στιγμή μαθαίνετε που  βρίσκεται το καθετί.Στο τέλος,ίσως μετά από αρκετούς μήνες,βρίσκεστε επιτέλους τον διακόπτη,τον πατάτε,και ξάφνου,τα πάντα φωτίζονται και ξέρετε που ακριβώς είσαστε!»









                                                  Άντριου Γουάιλς (1953-   )



Υπάρχουν και τα…χρώματα.



   Ενδιαφέρον στην μελέτη της ανακάλυψης των μαθηματικών,παρουσιάζει και η άποψη του Ντανιέλ Ταμετ, ενός αυτιστικού υψηλής λειτουργικότητας με υπεράνθρωπες δεξιότητες στην απομνημόνευση,την αντίληψη και την εκτέλεση μεγάλων αριθμητικών υπολογισμών.Ο ίδιος ομολογεί ότι αντιλαμβάνεται τους αριθμούς και τις λέξεις ως οπτικά ερεθίσματα,με χρώματα και επιμένει ότι αυτός είναι ο λόγος που έχει  τόσο μεγάλες νοητικές δυνατότητες.Σε μια συλλογή πινάκων ζωγραφικής  με θέμα την οπτική αντίληψη ιδιοφυών αυτιστικών ατόμων που δημοσίευσε πρόσφατα το περιοδικό Newscientist,ο Τάμετ απεικόνισε στον παρακάτω πινάκα πως βλέπει χρωματισμένο, στο νου του το π (γνωρίζει από μνήμης 22514 ψηφία του).



Περαιτέρω αναφορές:








Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...