«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Σάββατο, 7 Οκτωβρίου 2017

Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω στο… ζαχαροπλαστείο!


Προβληματάκι

  Το ζαχαροπλαστείο του Μήτσου είναι ξακουστό για τις τούρτες του, ο Μήτσος είναι εξαίρετος ζαχαροπλάστης όσο αφορά την γεύση των γλυκών του,εκεί που δεν τα πάει καλά είναι  το σχήμα των τουρτών που παρασκευάζει.Το πάχος τους είναι συγκεκριμένο,εκεί  δεν αντιμετωπίζει πρόβλημα,είναι πάντα το ίδιο.Όταν θέλει να φτιάξει μια τούρτα με τετραγωνική κάτοψη του βγαίνει με κάτοψη τετράπλευρο.Μια τέτοια τούρτα σοκολάτα θέλει να την μοιράσει στα δυο παιδιά του.Κάνει με το μαχαίρι μια  τομή κατά μήκος της διαγωνίου του τετραπλεύρου και την κόβει σε δυο κομμάτια με τριγωνική κάτοψη.Δίνει το ένα στον Γιαννάκη και το άλλο στον Κωστάκη.

Ο Κωστάκης δυσανασχετεί «..με ρίχνεις πατέρα,δεν είναι ίσα τα κομμάτια!!»

Ο Μήτσος εκνευρίστηκε: «Να μου γνωρίσεις την δασκάλα σου στο σχολείο να της πω «Μπράβο». Μέτρησε τα.Έχεις δυο τρίγωνα με όλες τις γωνίες αντίστοιχα ίσες και δυο πλευρές του ενός είναι ίσες με δυο πλευρές του αλλού.Οπότε,τα τρίγωνα είναι ίσα.Άρα,είναι ίσα και τα κομμάτια!!»

Ο Μήτσος παρότι έκανε σωστά τις μετρήσεις των γωνιών και των πλευρών έχει άδικο.Γιατί; Βρείτε τις διαστάσεις μια πιθανής τούρτας που να ικανοποιεί  τις προϋποθέσεις του προβλήματος.

Λύση από βδομάδα

4 σχόλια:

  1. Ναι, το σχήμα έτσι είναι. Όσο αφορά συγκεκριμένες αριθμητικές διαστάσεις εργαζόμαστε ως εξής:Τα δυο τρίγωνα έχουν πλευρές α,β,γ και β,γ,δ .Οι πλευρές β,γ είναι ίσες αλλά δεν ομόλογες.Από την ισότητα των γωνιών, τα τρίγωνα είναι όμοια,συνεπώς ισχύουν οι λόγοι:
    α/β=β/γ=γ/δ άρα οι α,β,γ,δ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου γεγονός που μας δίνει ένα στοιχείο να βρούμε δυο τέτοια τρίγωνα.
    Για παράδειγμα,οι τέσσερεις αριθμοί 8,12,18,27 που είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου(λ=3/2) και οι τριάδες 18,8,12 και 27,12,18 αποτελούν μήκη πλευρών δυο τριγώνων (τα μικρότερα δυνατά με ακέραιες πλευρές ) που ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του προβλήματος. Ένα τετράπλευρο με πλευρές 12,27,12,8 θα μπορούσε να αποτελεί κάτοψη μιας τούρτας του Μήτσου.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Προφανώς σχηματίζεται ένα τυχαίο τετράπλευρο.Φέρνουμε τη μία διαγώνιο και μετράμε τα ύψη από τις δύο άλλες κορυφές σε αυτήν τη διαγώνιο. Στη γενική περίπτωση δεν είναι ίσα αυτά τα ύψη άρα και οι δύο επιφάνειες (συνεπώς και οι δύο όγκοι, αφού το πάχος είναι ίσο). Αφαιρούμε τα δύο ύψη και το μισό της διαφοράς τους το κάνουμε ύψος που βαίνει στη διαγώνιο αυτή για το τρίγωνο που θα σχηματιστεί από τη διαγώνιο και ένα σημείο στο τρίγωνο - κομμάτι που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν - όγκο - ποσότητα και η κορυφή του βρίσκεται στη μία πλευρά που (οποιαδήποτε από αυτές τις δύο πλευρές του τετραπλεύρου). Μετά γίνεται τέλεια ο χωρισμός: το ευθύγραμμο τμήμα ενώνει αυτό το σημείο με την κορυφή του τετραπλεύρου που χαράχτηκε αρχικά η διαγώνιος, αλλά δεν ανήκει στην ίδια πλευρά με το σημείο αυτό.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Όντως,έτσι όπως το περιγράφεις προκύπτουν ισεμβαδικές κατόψεις και κατ'επέκταση ισα μερίδια τούρτας. Είχα κατά νου με το γρίφο να βρεθούν δυο άνισα τρίγωνα με 5 από τα κυρία στοιχεία τους ίσα.

      Διαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...