«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Τρίτη, 7 Νοεμβρίου 2017

Απορία για τρίγωνα αμοιβάδες...






  Χθες το απόγευμα,την ώρα της γεωμετρίας Α λυκείου,στην κλασική ερώτηση έχετε να ρωτήσετε κάτι στην αρχή του μαθήματος,μαθητής λέει:Η κυρία στο σχολείο μας είπε,να  χωρίσουμε ένα τρίγωνο σε δυο ισοσκελή τρίγωνα. 
  Αφού πρώτα ζήλεψα,που έχει τόσο δυνατό τμήμα και που μπορεί να  κάνει τέτοια πράγματα στο σχολείο,είπα στον μαθητή ότι θα το ανεβάσω στο blog.Σε μια φροντιστηριακή τάξη δεν γίνονται τέτοια πράματα, ειδικά όταν η άσκηση λύνεται με θεωρήματα που βρίσκονται ένα κεφάλαιο μπροστά.Αν λοιπόν,μου το μετέφερε σωστά:



  Πότε ένα  τρίγωνο μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ισοσκελή τρίγωνα με ευθύγραμμο τμήμα που άγεται από κορυφή του τριγώνου; Πόσα διαφορετικά (όχι όμοια) τέτοια τρίγωνα υπάρχουν; Τι συμβαίνει με την διαίρεση σε 3 ισοσκελή;


  Προφανώς,ένα τέτοιο τρίγωνο ΑΒΓ  μπορεί να διαιρεθεί σε δυο ισοσκελή τρίγωνα φέρνοντας ένα ευθύγραμμο τμήμα (ΑΔ)  που θα ενώνει μια κορυφή με την απέναντι πλευρά.




  Παρατηρούμε ότι,τουλάχιστον μια από τις γωνίες ΑΔΒ και ΑΔΓ είναι οξεία.Υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας  ότι η AΔB>=90ο  (σχήμα) .Για να είναι το  τρίγωνο BAΔ ισοσκελές τρίγωνο,πρέπει  να ισχύει  BAΔ=ABΔ.Συμβολίζουμε την κοινή τους τιμή με θ.Από το θεώρημα της εξωτερικής γωνίας (Εξωτερική γωνία  τριγώνου ισούται  με το άθροισμα των δυο απέναντι εσωτερικών ) έπεται ότι AΔΓ=2θ.
Υπάρχουν τρεις τρόποι, το  ΓAΔ  να είναι ισοσκελές τρίγωνο.

Περίπτωση 1.
Έστω AΓΔ=AΔΓ=2θ (σχήμα) τότε ΓAΔ=180ο -4θ>0ο. Πρόκειται για όλα τα τρίγωνα  στα οποία οι δυο γωνίες έχουν  λόγο 1:2, όπου η μικρότερη γωνία ικανοποιεί την σχέση 0ο <θ<45ο .








 
Περίπτωση 2
Έστω ΓAΔ =AΔΓ=2θ, τότε ΓAB=3θ και AΓΔ=180ο-4θ >0.Αυτή η κατηγορία αποτελείται  από όλα τα τρίγωνα  με λόγο 1:3 όπου η θ μικρότερη γωνία και ικανοποιεί  την           0ο <θ <45ο .








Περίπτωση 3
Εδώ,τώρα AΓΔ =ΓAΔ .Τότε  ΓAB=90o .Όλα τα ορθογώνια τρίγωνα.
 
Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι οι τρεις ομάδες που προανέφερα περιέχουν όλα τα ζητούμενα τρίγωνα,αλλά,περιέχουν και κοινά τρίγωνα για παράδειγμα  το (30ο,60ο ,90ο )  εμφανίζεται και στις τρεις.






Πότε μπορεί ένα τρίγωνο να διαιρεθεί σε 3 ισοσκελή τρίγωνα;
Εδώ γίνεται χαμός.Πρέπει να ισχύει τουλάχιστον μια από τις προϋποθέσεις:
1.Να είναι ισοσκελές.
2.Να είναι ορθογώνιο.
3.Να είναι οξυγώνιο
4,Να έχει μια γωνία 45 μοιρών.
5.Να έχει μια από τις παρακάτω μορφές:
(ω,90-2ω,90+ω),0<ω<45
(ω,90-3ω/2,90+ω/2),0<ω<60
(ω,360-7ω,6ω-180).30<ω<45

 και ίσως και άλλες που δεν βρήκα.



 Είναι προφανές ότι η άσκηση είναι επιπέδου μαθηματικού ομίλου και όχι σχολικού φυλλαδίου....

[¨Ασχετο trivia.Στο Crux,το επίσημο περιοδικό της μαθηματικής  Καναδικής εταιρείας, τα παραπάνω  τρίγωνα  τα ονομάζει αμοιβάδες.)
 


                         Bonus τραγουδάκι από R.Gallagher

          

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...