«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Πέμπτη, 26 Απριλίου 2018

Τραπέζιο



Λύση στο τέλος του μήνα συγκεντρωτικό αρχείο.
 https://drive.google.com/file/d/0B8YC2ZtENtdoTlZrWTBGQ0UxSm8/view

5 σχόλια:

  1. Σας εμπιστεύομαι απολύτως Μάνο και ΘΑΝΑΣΗ, αλλά καλού-κακού προσπάθησα να σκεφτώ και μια απόδειξη😊:

    Έστω υ το ύψος του τραπεζίου και Υ το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ που άγεται από την κορυφή Α.
    Το εμβαδόν (ΗΔΖΕ) του τραπεζίου είναι: (ΗΔΖΕ) = (ΗΔ+ΕΖ)*υ/2
    Από τις δεδομένες παραλληλίες προκύπτει ότι τα τρίγωνα ΗΒΕ, ΔΖΓ είναι μεταξύ τους ίσα και όμοια προς τα τρίγωνα ΑΗΔ, ΑΒΓ. Αν κ είναι ο λόγος ομοιότητας του τρ. ΗΒΕ προς το τρ. ΑΒΓ, ισχύουν:
    ΒΕ = ΖΓ= κ*ΒΓ
    ΗΔ = ΒΓ-ΒΕ = (1-κ)*ΒΓ
    ΕΖ = ΒΓ-ΒΕ-ΖΓ = (1-2κ)*ΒΓ
    υ = κ*Υ
    ΒΓ*Υ/2 = 1
    Επομένως:
    (ΗΔΖΕ) = (2-3κ)*ΒΓ*κ*Υ/2 =
    (2κ-3κ^2)*(ΒΓ*Υ/2) = 2κ-3κ^2
    Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης (ΗΔΖΕ) ως προς κ είναι η 2-6κ και μηδενίζεται για κ=1/3, άρα το μέγιστο εμβαδό του τραπεζίου είναι:
    max(ΗΔΖΕ) = 2*1/3-3*(1/3)^2 = 1/3

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Ναι Θανάση, την ίδια απόδειξη θα ανεβάσω στο συγκεντρωτικό αρχείο στο τέλος του μήνα, μόνο που καταλήγω στην συνάρτηση με χρήση της πρότασης για το λόγο των εμβαδών δυο όμοιων τριγώνων ότι ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...