«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Τρίτη, 1 Μαΐου 2018

Μέγιστο ΙΙ



   Η κορνίζα ΑΒΓΔ ενός πίνακα ζωγραφικής είναι  ορθογωνίου σχήματος και συνίσταται από 8 ίσα τραπέζια .Οι  διαστάσεις ΑΒ και ΒΓ  έχουν μήκη (σε cm) θετικούς ακεραίους. Το εμβαδό κάθε τραπεζίου είναι επίσης ακέραιος και μάλιστα πρώτος αριθμός.Το εμβαδό του πίνακα είναι λιγότερο από 2000 cm2.

Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδό που έχει ο πίνακας;  

3 σχόλια:

  1. Αν δε βιάστηκε πολύ:
    Διαστάσεις κάθε τραπεζίου:
    α=22, β=24, υ=1
    Εμβ. τραπεζίου: (α+β)*1/2 = 23
    Εμβ. κορνίζας: 8*23 = 184
    Εσ. εμβ. πίνακα: α(2α+β) = 22*68 = 1496
    Συνολ. εμβαδό: β(2β+α) = 24*70 = 1680

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Το μέγιστο εμβαδόν που έχει ο πίνακας είναι 1496 cm^2

    B = η μεγάλη βάση του τραπεζίου
    β = η μικρή βάση του τραπεζίου
    υ = το ύψος του τραπεζίου
    Τ = το εμβαδόν του τραπεζίου
    Ε = το εμβαδόν του πίνακα
    (ΒΓ) = Β (ακέραιος)
    (ΑΒ) = 2Β + β (ακέραιος), άρα β = (ΑΒ) – 2Β (ακέραιος)
    Β – β = 2υ (ακέραιος), άρα Β = β + 2υ
    Τ = (Β + β)*υ/2 = (2β + 2υ)*υ/2 = (β + υ)*υ
    Επειδή Τ = πρώτος και 2υ = ακέραιος, θα πρέπει υ = 1, άρα
    Τ = β + 1, Β = β + 2
    Ε = β*(2β + Β) = β*(3β + 2) = 3β^2 + 2β < 2000, άρα β < 26
    Είναι Τ < 27 και ο μεγαλύτερος πρώτος που δεν υπερβαίνει το 27 είναι ο 23
    Επομένως Τ = 23, β = 22 και Ε = 3*22^2 + 2*22 = 1496 cm^2

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...